1.1　计算机中的数制与编码

1.1.1　数制与数制转换

1.数制的基本概念

人们在生产实践和日常生活中，创造了多种表示数的方法，这些数的表示规则称为数制，其中按照进位方式计数的数制称为进位计数制。

（1）十进制计数制。

十进制计数制的计数规则是“逢十进一”。任意一个十进制数值都可用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字符号组成的字符串来表示，这些数字符号称为数码，数码处于不同的位置（数位）代表不同的数值。例如，十进制数819.18可以写成819.18=8×102+1×101+9×100+1×10-1+8×10-2。

上式称为数值的按位权展开式，其中10i（102对应百位，101对应十位，100对应个位，10-1对应十分位，10-2对应百分位）称为十进制数位的位权，10称为基数。

（2）二进制计数制。

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。在计算机科学中，常用的进制还有八进制和十六进制。

2.数制之间的转换

（1）任意进制数转换成十进制数。

利用按位权展开的方法，可以把任意数制的一个数转换成十进制数，如上面展开式所示。任意R进制计数制的值都可表示为：各位数码本身的值与其所在位位权的乘积之和。例如：

十进制数256.16的按位权展开式为

256.16D=2×102+5×101+6×100+1×10-1+6×10-2

二进制数101.0l的按位权展开式为

101.01B=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

八进制数307.4的按位权展开式为

307.4O=3×82+0×81+7×80+4×8-1

十六进制数F2B的按位权展开式为

F2BH=15×162+2×161+11×160

（2）十进制数转换为任意进制数。

如果需要将一个十进制数转换成一个R进制数，对于整数部分采用的是“除R取余法”，对于小数部分采用乘R取整法”。图1.1为将十进制整数转换成二进制整数的“除2取余法”。

在图1.1中将十进制数215用2去除所得的商数，直到商等于0为止。每次相除所得的余数便是对应的二进制整数的各位数码。第一次得到的余数为最低有效位，最后一次得到的余数为最高有效位，由此得到215对应的二进制数为11010111B。可以理解为：除2取余，自下而上。

上述将十进制数转换成二进制数的方法，同样适用于十进制与八进制、十进制与十六进制数之间的转换，只是使用的基数不同。

（3）二进制数与八进制或十六进制数的转换。

用二进制数编码，存在这样一个规律：n位二进制数最多能表示2n种状态，分别对应0，1，2，3，…，2n-1。可见，用3位二进制数就可对应表示1位八进制数。同样，用4位二进制数就可对应表示1位十六进制数。因此，将二进制转换成八进制时只要每3位进行转换；而将二进制转换成十六进制时只要每4位进行转换即可。

如将二进制数11101010011B转换成八进制数，按上述方法，从小数点开始向左每3位一组分隔，不足3位补0，得到011101010011，对应八进制数为（3523）8。

又如，将十六进制数6AF转换成二进制数，按每1位十六进制数对应4位二进制数，6AF对应的二进制数是011010101111，即11010101111B。

1.1.2　计算机中的数值数据

1.机器数与真值数

在计算机中，因为只有0和1两种形式，所以数的正、负号，也必须以0和1表示。通常把一个数的最高位定义为符号位，用0表示正，1表示负，称为数符，其余位表示数值。

例如，一个8位二进制数-0101100，它在计算机中表示为10101100，如图1.2所示。

这种把在机器内存放的正、负号数码化的数称为“机器数”，而它代表的数值称为此机器数的“真值”。例如，上面10101100为机器数，而-0101100为此机器数的真值。

数值在计算机内采用符号数字化后，计算机就可以识别和表示数符。但若将符号位同时和数值参与运算，由于两操作数符号的问题，有时会产生错误的结果，而要考虑计算结果的符号问题，将增加计算机实现的难度。为解决此类问题，在计算机中对符号数采用了三种编码方法，即原码、反码和补码，其实质就是对负数表示的不同编码。

2.原码、反码、补码

原码、反码和补码这三种表示方法的符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。简单起见，这里只以整数为例，而且假定字长为8位。

（1）原码。

整数X的原码指其符号位用0表示正数、1表示负数，其数值部分就是X绝对值的二进制表示。X的原码可以用[X]原表示。

例如：

[+1]原=00000001　　[+127]原=01111111

[-1]原=10000001　　[-127]原=11111111

可以看出，8位原码表示的最大值为27-1，即127，最小值为-127，即8位原码表示的数的范围为-127～127。

采用原码表示方法，编码简单，与真值转换方便。但原码也存在如下的问题：

①在原码表示中，0有两种表示形式，即

[+0]原=00000000　　[-0]原=10000000

零的二义性，给机器判断带来了麻烦。

②用原码做四则运算时，符号位需要单独处理，增加了运算规则的复杂性。原码的不足之处促使人们寻找更好的编码方法。

（2）反码。

对于整数X，正数的反码就是其原码；负数的反码是将原码中除符号位以外的每一位取反。X的反码可以用[X]反表示。

例如：

[+1]反=00000001　　[+127]反=01111111

[-1]反=11111110　　[-127]反=10000000

反码运算也不方便，因此很少直接使用。一般，反码都是用作求补码的中间码来使用的。

（3）补码。

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

正数的补码就是其原码；对于负数补码，其符号位为1，对数值位取反+1即可求得其补码。或者直接地，负数补码就是其反码+1。通常用[X]补表示补码。

例如：

[+1]补=00000001　　[+127]补=01111111[-1]补=11111111　　[-127]补=10000001

在补码中，0有唯一的编码，即：

[+0]补=00000000

[-0]补=[-0]反+1=11111111+1=00000000

因而可以用多出来的一个编码10000000来扩展补码所能表示的数值范围，即将负数最小值从-127扩大到-128。这里的最高位1既可以看作是负数的符号位，又可以表示为数值位，其值为-128。这就是补码与原码最小值不同的原因。

已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码。如果补码的符号位为0，表示是一个正数，其原码就是补码；如果补码的符号位为1，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

如已知一个补码为11111001，求其对应的原码。因为符号位为1，表示是一个负数，所以该位不变，仍为1，其余七位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111（-7）。

利用补码可以方便地实现正负数的加法运算，规则简单，在数的有效表示范围内，符号位如同数值一样参加运算，也允许产生最高位的进位（被丢弃），所以使用很广泛。

3.数的定点和浮点表示

如果两个数运算的结果超出了该类型可表示的范围（有符号的8位二进制位，可表示的最大值是127），这种情况称为“溢出”。为了避免溢出情况的发生，当要存放一个很大或很小的数时，通常会采用浮点数的形式存放。计算机内表示的数，主要有定点小数、定点整数与浮点数三种类型。

（1）定点小数的表示法

定点小数是指小数点准确固定在数据某一个位置上的小数。一般把小数点固定在最高位的左边，小数点前边再设一位符号位。按此规则，任何一个小数都可以写成：

N=NSN-1N-2…N-M

其中NS为符号位，如图1.3所示，即在计算机中用M+1个二进制位表示一个小数，最高（最左）一个二进制位表示符号（通常用0表示正号，1表示负号），后面的M个二进制位表示该小数的数值。小数点不用明确表示出来，因为它总是定在符号位与最高数值位之间。对用M+1个二进制位表示的小数来说，其值的范围为|N|≤1-2-M。

（2）整数的表示法。

整数所表示的数据的最小单位为1，可以认为它是小数点定在数值最低位（最右）右边的一种表示法整数分为带符号整数和无符号整数两类。对于带符号整数，符号位放在最高位。可以表示为：

N=NSNM-1NM-2…N2N1N0

其中NS为符号位，如图1.4所示。

对于用M+1位二进制位表示的带符号整数，其值的范围为|N|≤2M。

对于无符号整数，所有的M+1个二进制位均看成数值，此时数值表示范围为0≤N≤2M+1-1。在计算机中，一般用8位、16位和32位等表示数据。一般定点数表示的范围都较小，在数值计算时，大多采用浮点数。

（3）浮点数的表示法。

浮点表示法对应于科学（指数）计数法，如110.011可表示为：

N=110.011=1.10011×210=11001.1×2-10=0.110011×2+11

在计算机中一个浮点数由两部分构成：阶码和尾数。阶码是指数，尾数是纯小数，其存储格式如图1.5所示。

阶码只能是一个带符号的整数，它用来指示尾数中的小数点应当向左或向右移动的位数，阶码本身的小数点约定在阶码最右面。尾数表示数值的有效数字，其本身的小数点约定在数符和尾数之间。在浮点数表示中，数符和阶符都各占一位，阶码的位数随数值表示的范围而定，尾数的位数则依数的精度要求而定。

注意：

浮点数的正、负是由尾数的数符确定，而阶码的正、负只决定小数点的位置。